Elementi
di Economia: un’impostazione più vicina
alla
scienza fisica secondo le idee di Von Neumann,
Sraffa
e Notarrigo
Angelo Pagano
Abstract
Basic economic processes are examined in the context of Sraffa, Von Neumann
and Notarrigo economic ideal models. It is shown that these models allow a
reasonable description of the dynamical evolution of any realistic economic
processes. Also, some conneetions between economic processes and Entropy are
diseussed.
Introduzione
Già Marx denunciava la
difficoltà della libera ricerca scientifica in campo economico1. Ed è probabile che anche ai
nostri giorni il pensiero economico corrente sia negativamente influenzato dai
forti interessi economici di privati o di nazioni che hanno oramai raggiunto
volumi di affari colossali.
Un modo efficace per combattere
queste influenze è quello di sviluppare modelli di economia integrata con le altre scienze con l’obbiettivo
dichiarato di trovare una via percorribile per uno sviluppo economico compatibile con l’ecosistema terrestre. Alcuni
economisti hanno già cominciato a sviluppare dei modelli economici integrati2.
Il problema più impellente da
risolvere è parso quello di dare una valutazione quantitativa di quel danno ambientale che deriva dal consumo
delle merci. Ed è sembrato possibile risolvere il problema del danno ambientale valutando un costo aggiuntivo delle merci prodotte
(in danaro) e poi riversare il ricavato denaro
in opere di risanamento dell’ambiente
(fiumi, laghi, ecc....). In buona sostanza, si è reso il danno ambientale
proporzionale al consumo energetico.
Nel momento in cui i consumi (e dunque gli inevitabili
rifiuti) hanno raggiunto quantità colossali e tali da danneggiare i ritmi
naturali che consentono la rigenerazione degli elementi fondamentali della
vita sul pianeta (terra fertile, foreste, mari, atmosfera, ecc....), è emersa
l’insufficienza di un tale criterio.
Infatti, la quantità
fisicamente rilevante per il calcolo del danno ambientale è il bilancio (leggi
differenza) tra il flusso di negaentropia
(leggi: informazione), che nasce dagli scambi energetici tra biomassa e radiazione solare e flusso di entropia
(leggi: confusione), che nasce dal processo di produzione e consumo delle
merci. Pertanto, un calcolo del danno basato sull’assunzione di modelli che
solo in una prima approssimazione hanno a che fare con l’essenza del fenomeno
che indichiamo con il termine generico di inquinamento
è risultato illusorio. In breve, ci si è accorti che l’espansione
produttiva ha un limite imposto dalle leggi fisiche e dalla piccolezza degli
ecosistemi coinvolti.
Si noti che su questo preciso
punto l’analisi marxiana del sistema capitalistico è dirompente3, e ci pare corretto, richiamando il detto che dice di dare a Cesare quel che è di Cesare e a
Dio ciò che è di Dio, considerare Marx il primo ecologista della storia più
recente4.
Il problema che consiste nel trovare un prezzo da far pagare agli inquinatori
se affrontato entro gli schemi teorici attuali, che si occupano
esclusivamente delle relazioni economiche che avvengono sul mercato, non è più scientificamente proponibile.
Infatti, a lungo andare, risulta che quel prezzo
o come si suole dire quella monetizzazione
del danno, diventa così grande da risultare incompatibile con lo stesso
sviluppo economico quantitativo che si vuole a tutti i costi salvaguardare. Le interminabili
polemiche sulla riduzione dei gas inquinanti immessi in atmosfera costituiscono
un esempio eloquente di tale insufficiente modo di affrontare il problema. A
mio parere, prima di esaminare l’interazione tra economia e ambiente, è
necessario esaminare più a fondo le inevitabili connessioni tra Economia e Fisica.
Il noto economista Georgescu Roegen ha proposto di
integrare la teoria economica con il concetto di entropia5 . Questo importante concetto che in fisica
ha avuto una storia molto tormentata ( e che a mio avviso non è affatto
terminata) ha bisogno però di una necessaria riformulazione in modo che ne
risulti possibile l’applicazione in campo economico. In questo lavoro non
spingerò l’analisi dei modelli fino a questo punto. Mi limiterò ad introdurre
gli elementi di una teoria fisico — economica sulla base delle idee esposte dal
Von Neumann, Sraffa e Notarrigo che permettono di considerare facilmente il
significato dell’entropia in campo economico.
I cosiddetti economisti classici (tra cui Smith e
Ricardo ) pensavano che la scienza economica dovesse rifarsi ai metodi della
fisica. Ma, a parte la parentesi rappresentata da Marx, la loro opera di
rinnovamento è rimasta sostanzialmente incompiuta.
Di fatto, alle analisi dei
classici non é seguita una vera rivoluzione del pensiero economico e si sono
affermate le teorie marginali le
quali pur assumendo alcuni principi fondamentali degli economisti classici,
come la libertà di mercato e il libero scambio, modificano profondamente
il concetto di valore della merce e
lo sostituiscono con il concetto di utilità
marginale, che sarebbe l’incremento della soddisfazione che un soggetto ricava dal consumo di una data
quantità di un bene. Non ho mai capito, sulla base della teoria delle grandezze
fisiche, come si possa misurare questa soddisfazione.
Una teoria economica formulata
con metodi più vicini a quelli della fisica, si deve al fisico matematico, J.
Von Neumann6 il quale
considera un modello in cui esistono diverse industrie che producono varie
merci. Egli dimostra (sotto opportune condizioni generalmente valide nella realtà
economica concreta) che necessariamente si deve raggiungere una situazione di equilibrio generale per il mercato che stabilisce
in modo univoco il valore di scambio per ogni singola merce7. La teoria del Von Neumann permette inoltre di
estendere in campo economico i concetti dei potenziali termodinamici e dunque
di entropia8.
Un modello più semplice dovuto
all’economista Piero Sraffa9 si
presta più facilmente ad uno sviluppo dinamico della teoria come ha mostrato
circa dieci anni addietro il fisico Salvatore Notarrigo10.
In seguito saranno illustrate
queste teorie economiche che si avvicinano al modo di trattare i problemi
nella scienza fisica e che pertanto, a mio avviso, consentono di gettare luce
su una possibile scienza economica
integrata.
1. Presupposti fisici: Il modello di Sraffa
Piero Sraffa dimostra che
l’idea degli economisti classici di identificare il valore delle merci con il
lavoro è giustificata da un modello realistico.
Egli assume l’ipotesi che sul mercato in cui avviene lo
scambio del le merci vi sia equilibrio generale (nel senso sopra indicato).
Naturalmente, i rapporti di scambio tra le varie merci potrebbero mutare con
il tempo, nel senso che una modificazione nelle tecniche produttive potrebbe
introdurre delle modificazioni nei valori di scambio11 , ma presto o tardi, come del resto mostrato dal
Von Ncumann, ed assunto dal Marx su basi intuitive ricorrendo alla nozione di legge coercitiva della concorrenza, si
raggiunge una nuova situazione di equilibrio, con nuovi coefficienti tecnologici.
L’analisi di Sraffa parte da
una società ideale con due sole industrie fondamentali. Vedremo, come a partire
dal modello semplice di Sraffa, sarà possibile introdurre ulteriori elementi di
concretezza fino ad arrivare ad una dinamica dei processi produttivi. Solo
quando il modello sarà stato sufficientemente concretizzato, esso potrà essere utilmente utilizzato come base
razionale per affrontare il problema
dello sviluppo economico compatibile con 1’ambiente.
Partendo da un punto di vista
oramai consolidato e ampiamente sperimentato in fisica dobbiamo individuare
gli elementi o atomi da cui partire. Per fare ciò dobbiamo astrarre, come si è
fatto nelle scienze fisiche, quanto più possibile da valutazioni di carattere
morale, ideologico, politico, religioso e quant’altro può condurre ad
interminabili ed inutili diatribe che nulla hanno a che fare con il concetto
che abbiamo di scienza. Nel far ciò non si vuole rifiutare la morale, la
ideologia, la politica, la religione e quant’altro è frutto della più antica
esperienza umana. Del resto, nessuno è in grado di astrarre dalle proprie
ideologie, dai propri sentimenti, dai propri convincimcnti religiosi e
politici.
Una parte dell’economia moderna
assume l’idea, del resto abbastanza soggettiva, di bisogno umano che dovremmo poter soddisfare con la produzione di
certi beni. Ma, sulla nozione di
bisogno ci scontreremmo subito, come del resto è ovvio e anche sperimentato da
tutti, con le più disparate opinioni che qui non vale la pena richiamare.
Sraffa12, invece, parte
dall’idea marxiana13 che gli elementi su cui si deve fondare una
teoria economia sono le merci14. Introdotti gli elementi verranno di
volta in volta ipotizzate le regole di composizione e verranno sviluppate le
proposizioni che permettono di confrontare il dato sperimentale con il modello
stesso.
2. Riproduzione semplice
Il modello di Sraffa parte dall’esame di una società
idealizzata, in cui si producono solo due merci: grano e ferro. Una
caratteristica impor tante è che entrambe le merci entrano nelle industrie del
grano e del ferro. Ovvero, come si dice, sono input essenziali di entrambe le industrie. Il grano entra
nell’industria del grano come semente e cibo e nell’industria del ferro come
cibo. A sua volta il ferro entra sotto la forma di attrezzi sia nell’industria
del grano che nell’industria del ferro entra come attrezzi da lavoro15. Questo modello contiene,
nella sua essenza, il meccanismo di formazione dei valori di scambio. Il problema è quello di stabilire quali sono le
quantità di grano e di ferro da produrre annualmente affinché il sistema
produttivo non si inceppi. Vedremo che come queste quantità sono
determinate esclusivamente dai coefficienti
tecnologici dati, in una data epoca. Cosa é un coefficienti tecnologico? Esso coincide con la quantità, di ogni
singola merce, che é necessario investire per produrre un’unità fisica di altra
merce16. Sraffa considera,
come esempio concreto, il ciclo produttivo determinato dalle relazioni econometriche17
280q
(grano) + 12t (ferro) ® 400q
(grano)
120q
(grano) + 8t (ferro) ® 20t
(ferro)
Nella nostra simbologia, q vale
un quintale ed é riferito all’unità di misura della quantità di grano e t
vale una tonnellata ed é riferito all’unità di misura della quantità di
ferro. Si osservi che nel ciclo di trasformazione sopra introdotto, nulla viene
prodotto in più di quanto la società possedeva prima del processo produttivo.
Ovvero, con linguaggio più comune il PIL o Prodotto Interno Lordo non cambia di
anno in anno. Complessivamente, vengono investiti 400q di grano per
riottenerne la stessa quantità alla fine del ciclo. La stessa cosa succede per
il ferro. Dividiamo la prima equazione econometrica per 400 e la seconda per
20, otteniamo le corrispondenti equazioni econometriche ridotte:
0.7q
(grano) + 0.03t (ferro) ® 1q
(grano)
6q
(grano) + 0.4t (ferro) ® 1 t
(ferro)
Vediamo che per produrre un
quintale di grano occorrano 0.7 quintali di grano e 0.03 tonnellate di ferro,
e per produrre una tonnellata di ferro occorrano 6 quintali di grano e 0.4
tonnellate di ferro. Ad ogni industria produttiva verranno ad essere associati
due coefficienti tecnologici.
Convenendo, per comodità, di misurare le quantità di
grano sempre in quintali q un quintale di grano e le quantità di ferro in
tonnellate t = una tonnellata di
ferro, rappresentiamo il sistema produttivo secondo la tabella:
Industrie |
|
Inputs |
|
|
grano |
ferro |
output |
Grano |
0.7 q/q |
0.03 t/q |
1 q |
Ferro |
6.00 q/t |
0.4 t/t |
1 t |
Sulla riga corrispondente
all’industria del grano leggiamo che per produrre una unità fisica di grano
occorre investire 0.7 unità fisiche di grano e 0.03 unità fisiche di ferro lo
stesso vale per la riga che corrisponde all’industria del grano. Fissiamo una
volte per tutte l’ordine con cui riempire la tabella e le unità di misura
delle varie merci (ad esempio i quintali per il grano e le tonnellate per il
ferro) e rappresentiamo una matrice di
produzione P con la tabella seguente:
i numeri che vi compaiono
rappresentano i coefficienti tecnologici.
Essa ci dice tutto quello che si vuole sapere sull’andamento della
produzione nella data società.
Più in astratto, indicando con
l’indice i variabile da 1 a 2 il
parametro d’ordine delle industrie e con l’indice j variabile da 1 a 2 il
parametro d’ordine delle merci, il generico elemento pij della
matrice di produzione si leggerà: occorre investire nell’industria i, pij unità della merce j
per produrre una unità di merce i. La
matrice di produzione si scriverà nella forma:
Ritorniamo alla tabella input – output dell’esempio di
Sraffa e supponiamo di voler produrre alla fine del processo produttivo q1
quintali di grano e q2 tonnellate di ferro. Basta moltiplicare
(processo inverso del dividere che abbiamo eseguito per definire i
coefficienti) i coefficienti tecnologici per tali quantità per sapere le
quantità delle singole merci che bisogna investire per ottenere le quantità richieste18:
Industrie |
|
Input |
|
|
grano |
ferro |
output |
Grano |
0.7 x
q1 |
0.03 x q1 |
1 x q, |
Ferro |
6.00
x q2 |
0.4 x q2 |
1 x q., |
Un sistema che funzioni in modo
che esso in ogni ciclo si riproduca sempre nelle stesse proporzioni nel
vocabolario di Sraffa viene chiamato sistema economico a riproduzione semplice. Ovviamente bisogna che le quantità totali in
input uguaglino le quantità totali in output, per cui deve aversi:
Questo, come è noto, è un
sistema lineare di due equazioni in due incognite. Per risolverlo riduciamolo
in forma normale (ovvero si trasportino
tutte le incognite al primo membro), otteniamo:
Vediamo che, moltiplicando ambo
i membri della seconda equazione per -10 si ottiene la prima
equazione. Questo fatto matematico ci dice che le due equazioni esprimono la
stessa condizione di vincolo sulle
incognite del problema. In altre parole, basta risolvere la prima equazione (o
anche solo la seconda equazione) per ottenere la soluzione del nostro problema.
Così, la soluzione del sistema lineare comporta: q1 = 20q2 . Se, come richiesto dal nostro esempio, volessimo
produrre 400 q di grano allora dovremmo necessariamente investire 20 t
di ferro. Ogni altro rapporto di investimento rimane escluso dalla
matematica del problema.
Vediamo che il modello nella sua semplicità impone una
ferrea legge di mercato e cioè che le quantità di grano e ferro da scambiare
tra le due industrie sono rigidamente legate dalla relazione di quantità
determinata dai coefficienti della matrice di produzione. Per cui con Sraffa19 possiamo affermare che « Esiste un’unica serie di valori di
scambio, i quali, se adottati nel mercato, permettono di stabilire la
distribuzione originaria dei prodotti, creando così le condizioni necessarie
perché il processo possa rinnovarsi;
questi valori scaturiscono direttamente dai metodi di riproduzione. Nel
particolare esempio che abbiamo dato, il valore di scambio che soddisfa a tale
condizione è di 10 q di grano per 1 t di
ferro».
Infatti, secondo le equazioni
econometriche, il produttore del grano mette sul mercato 120q di grano (ovvero
l’eccedenza tra il suo prodotto lordo ed il suo bisogno netto 400q - 280q).
Mentre, il produttore di ferro mette sul mercato 12t di ferro (ovvero
l’eccedenza tra il suo prodotto lordo ed il suo bisogno netto 20t - 8t).
Lo scambio avviene automaticamente secondo il rapporto 10q per 1t. Si può
anche dire, con ovvio significato delle parole, che 1 tonnellata di ferro vale 10 quintali di grano. Il valore di scambio é imposto dalle
necessità del sistema produttivo. Non è possibile impiegare quantità superiori
o inferiori a quelle che scaturiscono dalla risoluzione del sistema lineare
che lega le quantità di input-output.
Se per qualche fluttuazione20 il sistema producesse più grano
(o ferro) di quanto richiesto per la riproduzione semplice, questo dovrebbe
essere consumato improduttivamente per
mancanza di un’adeguata quantità di ferro (o di grano) necessario per la sua
trasformazione. In questo caso il grano (o il ferro) apparirebbe nella forma di
merce lusso o superfluo. Se invece del grano (o ferro) venisse prodotto in meno,
rispetto a quanto richiesto dal sistema, si assisterebbe ad un processo di
regressione del sistema che, in casi molto gravi, può condurre alla distruzione
del sistema stesso con l’estinzione della stessa società umana che da esso
riceve il sostentamento. Una società che vivesse in regime di riproduzione
semplice sarebbe perennemente minacciata da sempre possibili avverse
condizioni climatiche. Nasce il bisogno di creare un sistema di scorte per
sopperire alle necessità nei periodi di carestia21 . Ma, se si volesse passare alla produzione allargata, cioé una
produzione con sovrappiù, allora
bisognerebbe modificare le tecnologie esistenti (e quindi i coefficienti
tecnologici) per ottenere una nuova produzione che consenta tale sovrappiù.
Vedremo in seguito di affrontare in termini matematici il problema. Conviene,
per il momento riprendere il nostro semplice sistema matematico facendone
vedere alcuni aspetti essenziali e forse anche divertenti. Riprendiamo dunque
il sistema (2.1) che scriviamo in forma simbolica come segue:
Dalla forma simbolica (2.3) si
passa alla forma analitica (2.1) convenendo di combinare le quantità ordinate
sulla riga a sinistra della matrice P con
i coefficienti tecnologici della stessa matrice secondo un prodotto righe per colonne e poi uguagliando il primo e secondo
membro elemento per elemento. Si ottiene la seguente uguaglianza simbolica:
(0.7q1
+ 6q2 , 0.03q1 + 0.4q2) = (q1,q2)
Uguagliando entrambi i termini
del primo e del secondo membro separati dalle virgole si ottiene il sistema
(2.1). Conviene rendere ancora più concisa la rappresentazione simbolica
introducendo22 il simbolo (che
possiamo chiamare vettore riga delle merci o vettore bra) áq| = (q1
, q2 ) e dunque rappresentare il sistema economico
semplicemente con la scrittura:
áq| P = áq|
Abbiamo visto che ad ogni
rapporto di investimento tra le quantità fisiche (nel nostro esempio, q1 =
20q2 corrisponde un ben determinato rapporto di valori di scambio
(valore 1 tonnellata di ferro = valore 10 quintali di grano). Viceversa, noti
il valore di scambio di tutte le merci, questo corrisponde ad un ben preciso
insieme di rapporti di investimento. Allora, in luogo di risolvere il sistema
delle quantità di investimento può convenire di risolvere un sistema di
equazioni che ci dia i valori di scambio sul mercato. Avremo così il vantaggio
che il valore di scambio rende omogenee le varie unità di misura delle singole
merci riferendole ad una sola merce campione che potremo chiamare merce moneta. Per far questo
introduciarno il vettore dei
valori colonna o vettore ket:
|xñ = dove
il simbolo xi per i che varia da uno a due (nel nostro esempio a due industrie e due
merci) rappresenta il valore di scambio dell’unità di misura della merce i . Diremo anche che il vettore colonna
dei valori, è il vettore duale del
vettore che rappresenta le quantità fisiche23. Scriviamo un’equazione in forma simbolica del
tipo: P|xñ = |xñ dove il vettore colonna dei valori è
scritto ora a destra rispetto alla matrice di produzione. Eseguiamo il prodotta
riga per colonna (partendo dalle righe
della matrice di produzione) ed otteniamo il sistema di equazioni:
che conduce ai corretti
rapporti di scambio, come precedentemente determinati, che si legge, con
ovvio significato delle parole, nel modo seguente:
Il
valore di una tonnellata diferro (unità di misura della quantità di ferro) è
uguale al valore di 10 quintali di grano (unità di misura della quantità del
grano).
Il termine valore di una merce acquista un significato oggettivo che fa riferimento
solo ai coefficienti di produzione come necessariamente determinati dalle
condizioni di sviluppo del sistema produttivo. Possiamo assegnare ad arbitrio
l’unità di misura del valore che possiamo chiamare, ad esempio lira, stabilendo
l’equazione dimensionale per l’unità di misura dei valori con una relazione
del tipo (ovviamente non omogenea)
Una lira = valore di 10 grammi di grano
Per cui
nel nostro esempio, possiamo affermare che:
Una t
di ferro vale 10 q di grano, che vale 100.000 lire
Potremo creare tutti i multipli
ed i sottomultipli di cui abbiamo bisogno per le nostre esigenze pratiche24. Ovviamente, il prodotto tra
le quantità di merce (espresse nelle unità sopra indicate) e i rispettivi
valori per unità di prodotto: q1 ´ x1 + q2 ´ x 2 esprime il valore totale prodotto dall’intero sistema
economico in un ciclo produttivo, ovvero il PIL (Prodotto Interno Lordo), come
lo chiamano gli economisti. Utilizzando il linguaggio conciso dei vettori bra
e dei vettori ket scriveremo:
Valore Totale PIL = áq| |xñ (2.6)
convenendo di operare con il
prodotto riga (vettore delle quantità) per colonna (vettore dei valori). La
relazione (2.6) consente dunque un calcolo del PIL una volta noti le quantità
prodotte nel ciclo produttivo e tutti i valori di scambio25.
3. Riproduzionc semplice generalizzata
La generalizzare del modello a
due merci e due industrie può essere estesa ad una situazione più
generale in cui si hanno più industrie e più merci. Consideriamo il caso di una
società ideale con n industrie che
producano n merci.
Generalizzando quanto detto a
proposito del modello a due merci e a due industrie, ordiniamo le industrie
mediante l’indice i , per i che varia da 1 a n, e le merci secondo
l’indice j che varia da 1 a n. Ne
derivano n x n coefficienti
tecnologici ( per esempio, nel caso n=3 si
avranno 9 coefficienti) che saranno indicati, come già visto, con il simbolo pij,
avendo indicato con j l’ordine dell’unità di misura della merce j, necessaria
all’industria i-esima per produrre
l’unità di merce i-esima. Convenendo
di adottare un sistema di misurazione
coerente, possiamo dunque considerare la matrice numerica P ad n
righe ed n colonne. Le n merci prodotte in un ciclo produttivo
le indicheremo con il solito vettore riga (bra) |qñ e gli n
valori di scambio con il vettore colonna (ket) áx| .
I due sistemi di
equazioni lineari ad n equazioni in n incognite saranno rappresentati dalle
due equazioni simboliche duali:
áq| P = áq|
(3.1)
P
|xñ = |xñ
La prima ci dà i rapporti di investimento e la seconda ci dà i rapporti di
scambio (ovviamente basterà risolvere solamente una delle due). Prendiamo in
esame l’equazione dei valori di scambio. Introduciamo per convenienza la
matrice identità I
( matrice con tutti 1 nella diagonale principale e 0 altrove). E’
banale verificare (prodotto riga per colonna) l’identità I |xñ = |xñ per cui
potremo scrivere la (3.1) nella forma (P
- I) |xñ = 0
che rappresenta un sistema lineare omogeneo la soluzione del quale determina
gli n - 1 rapporti avendo scelto la
merce con indice 1 come riferimento o merce
moneta. Le condizioni da
verificare per lo sviluppo della soluzione è che il determinante della matrice (P - I) sia uguale a zero e che un
minore di ordine (n-1) ´ (n-1) di
P sia diverso da zero. Osserviamo che i coefficienti tecnologici
della matrice di produzione sono tutti positivi (per l’ovvio significato che
essi assumono nel sistema produttivo) o al più essi sono nulli. Infatti, se una
data merce non entra nella produzione di un’altra merce basterà porre il
relativo coefficiente tecnologico uguale a zero. Il valore complessivo della
società ci sarà dato sempre dal prodotto quantità-
valori, come espresso dalla relazione
simbolica
PIL = áq| |xñ = Si=1,n qi xi = q1x1 + q2x2,
+... + qnxn
Riassumiamo
il risultato fin qui ottenuto all’interno dello schema teorico proposto:
a) i valori di scambio dipendono esclusivamente
dai coefficienti tecnologici e possono essere modificati solo cambiando le
tecniche di produzione;
b) il PIL ci dà il valore complessivo prodotto
in un ciclo espresso in forma relativa ad una merce campione.
La teoria elementare sin qui
esposta ci permette di comprendere alcuni fatti fondamentali di qualunque
sistema economico che si basasse su di una economia della sussistenza:
i) La società può
esistere solo se i coefficienti di produzione permettono la riproduzione del
PIL;
ii) Una società a riproduzione semplice ha pochissimi
margini di sopravvivenza a causa delle inevitabili fluttuazioni del sistema
naturale. In tal caso gli individui di quella società sono costretti a vivere
da nomadi cercando di individuare di
volta in volta ecosistemi non sfruttati o vergini;
iii) Per la stabilità del sistema economico sarà
necessario produrre un sovrappiù di prodotto alla fine del ciclo produttivo che
renda più sicure le condizioni per la sopravvivenza della specie.
4. La produzione con sovrappiù
In questo capitolo toccheremo
un argomento di capitale importanza per la comprensione di qualunque sistema economico
che sia capace di produrre non solo il necessario per la sussistenza, ma anche
un di più di merci. Vedremo che anche
in questo caso una ferrea legge di necessità determina i rapporti di scambio e
fissa i rapporti di investimento.
Ribadiamo, anche a rischio di
sembrare prolissi, che, in regime di produzione semplice non è possibile
nessuna dinamica economica perché mai sarà possibile trovare alla fine del
ciclo più valore di quanto sia stato immesso nel ciclo precedente. Una società
di questo tipo è necessariamente statica
e si perpetua immutata nel tempo, condizioni climatiche esterne
permettendo. Molte delle società, dette primitive, presentano tale
caratteristica ed in genere l’organizzazione sociale coincide con quella della
tribù sempre pronta ad improvvisi spostamenti.
Ritorniamo pertanto sulle sicure orme di Piero Sraffa,
continuando con il suo esempio elementare di economia a due industrie e
due merci26. Supponiamo che si
riesca a produrre una maggiore quantità di grano, ad esempio pari a i 75q
rispetto a quello che si era supposto in regime di riproduzione semplice, e si
abbia:
280q (grano) + 12t (ferro) ® 575q (grano)
120q (grano) + 8t (ferro) ® 20t (ferro)
A scanso di equivoci, chiariamo
che non si tratta qui di fluttuazione
nella produzione del grano. Ci chiediamo, come è possibile che con le
stesse quantità di grano e di ferro in input si riesce ora a produrre più
grano? La risposta risiede nel concetto stesso di negaentropia intesa come quantità di informazione che permette di chiarire ancora di più il concetto di
valorizzazione di un processo
produttivo. Si immagini che un acuto agricoltore, dotato più degli altri di spirito critico scopra che
la sequenza delle operazioni richieste per ottenere il grano dal terreno
(semina, ecc...) possa influenzare positivamente o negativamente la produzione.
L’acuto agricoltore propone agli anziani del villaggio di ordinare agli altri
membri della comunità di disporre le sementi in un certo modo e usare il
terreno con una certa logica. In una parola, del lavoro che prima veniva
impiegato seguendo una certa sequenza di operazioni viene ora impiegato cambiando
tali sequenze con l’apporto di un maggiore contenuto di informazione. Si ottiene una vera e propria rivoluzione tecnologica
ed il sistema esce dalla mera sussistenza. I coefficienti della matrice di
produzione, definita al solito modo dividendo ambo i membri per le quantità
prodotte ora diventano:
0.4869q (grano) + 0.0208 t (ferro) ® 1 q
(grano)
6q (grano)
+ 0.4 t (ferro) ® 1 t (ferro)
E’ banale verificare che ora la
matrice (P-I) non può più soddisfare le condizioni per la riproduzione
semplice. Ovvero, moltiplicando al solito modo per q1 la prima
equazione e per q2 la seconda non è più possibile risolvere un
sistema lineare del tipo (2.1), per l’ovvio motivo che l’input di grano è più
basso dell’output prodotto (sovrappiù). Nella nostra matematica elementare
dobbiamo tenere in conto esplicitamente del sovrappiù prodotto.
Per scrivere le equazioni che
sono sufficienti per descrivere un processo economico con sovrappiù supporremo
che la matrice di produzione P sia tale da poter realizzare ad ogni
ciclo produttivo, un sovrappiù di valore ρ áq| |xñ
essendo ρ una quantità numerica (numero reale) moltiplicativa del PIL. Il
sistema lineare da risolvere per le quantità nel caso generale si scrive:
(1+ ρ) áq| P = áq| (4.1)
mentre, il sistema duale
per i valori diventa:
(1+ ρ) P |xñ = |xñ (4.2)
Il significato dei simboli é lo
stesso di quello già discusso nel capitolo dedicato alla riproduzione
semplice; il valore numerico positivo ρ indica ora il saggio del sovrappiù. Dal punto di vista economico, le due equazioni
simboliche esprimono la condizione che il vettore áq| (equivalentemente il vettore duale |xñ) deve soddisfare, se si vuole
che il sistema economico riproduca tutte le quantità di merci usate come inputs
e, nello stesso tempo, produca un sovrappiù pari a una frazione determinata
delle varie quantità impiegate e uguale per tutte le merci. Conviene indicare,
per comodità, con un parametro tale che
il sistema (4.1) si possa scrivere più semplicemente nella forma:
áq|
P = z áq| (4.3)
Scriviamo esplicitamente il sistema nel caso del
modello a due industrie discusso dal Sraffa:
o anche:
Vediamo che il parametro z (che determina il sovrappiù) deve essere determinato dalla
soluzione del sistema matematico (4.5) nello stesso tempo in cui si deve
determinare la soluzione áq| .
Pertanto, imponendo la condizione che il determinante del sistema deve essere
nullo (e ciò per potersi avere soluzione diversa dalla banale) si ottiene per z il valore27 di 0.797811 a cui corrisponde un sovrappiù pari a
ρ = 25%. Posto questo valore nel sistema (4.4)
si ottiene la soluzione per i rapporti di produzione e analogamente, si
possono determinare direttamente i valori per lo scambio x1, x2
risolvendo il sistema duale (4.2). Vediamo dunque che anche in
situazione di riproduzione allargata i
rapporti di scambio tra le merci sono determinati dalla matrice di produzione
allo stesso modo (e allo stesso tempo) del parametro di incremento della
produzione. Ogni settore produttivo vedrà aumentare il PIL da esso prodotto
nella percentuale pari al sovrappiù moltiplicato per la quantità in input che
compete al quel settore. Qualunque manovra speculativa é destinata a fallire
per gli effetti deleteri che avrebbe sul sistema nel suo complesso. E’ chiaro
che il sovrappiù prodotto può ora alimentare un sistema di scorte che permetterà
la sopravvivenza della popolazione in periodi di carestia o in presenza di
catastrofi. Nell’esempio concreto di Sraffa i conti fatti ci dicono che: «Delle 20 t di ferro prodotte, 8 t vanno a
reintegrare il ferro usato e 12 t vengono vendute al prezzo di 15 q di grano
per tonnellata, ottenendo così 180 q di grano: di questi, 120 q vanno a
reintegrare il grano usato, e 60 q costituiscono il profitto al saggio del 25%
sui 240 q di grano che rappresentano il valore complessivo del grano e del
ferro usati come mezzi di produzione o di sussistenza nell’industria del ferro»28
.
5. Riproduzione generale con sovrappiù
Dal punto di vista della
matematica, le equazioni (4.1) e (4.2)
sono due esempi dell’equazione lineare con autovalore . Il problema agli autovalori é molto
frequente nella fisica. Esso é fondamentale nella teoria della stabilità e in
meccanica quantistica. In generale, quando si pone un problema agli autovalori é necessario (come è oramai
chiaro dagli esempi precedenti) riuscire a determinare gli autovalori z che rendono nullo il determinante della
matrice (P-I), essendo I la solita matrice identità.
L’equazione Det(P-I)= 0 (determinante della matrice (P-I) uguale
a zero), ammette esattamente n soluzioni,
alcune delle quali possono essere contate più volte. Ovviamente di queste
soluzioni o radici solo quelle che conducono a sovrappiù positivo sono
rilevanti. Questa è la condizione affinché il sistema economico possa
sopravvivere. Infatti, se il sovrappiù risultasse negativo ad ogni ciclo si
avrebbe una produzione inferiore a quella del ciclo precedente e il sistema
economico nel lungo periodo crollerebbe. E’ giusto osservare che anche in
presenza di autovalori z economicamente
significativi (che conducono cioè a sovrappiù positivo), l’evoluzione con il
tempo (dinamica del processo produttivo) può risultare tale da costringere il
sistema verso forme di recessioni più
o meno gravi. Infatti, come osservato dal Marx, sulla dinamica del processo
economico ha enorme rilevanza sapere in che modo la sorgente fisica del sovrappiù (che Marx identifica nel lavoro umano) si pone nei
confronti delle risorse naturali. Quindi gli economisti hanno bisogno di
preoccuparsi dell’inquinamento ambientale, perché i beni, che loro chiamano liberi, vanno esaurendosi per effetto
stesso di quello che loro chiamano sviluppo
economico. Notiamo, intanto che, all’interno delle leggi della logica fin
qui esposta vi è spazio per la libera scelta dell’essere pensante. Il
sovrappiù prodotto in un ciclo produttivo ρ áq| |xñ qui espresso in termini di valore, può essere
interamente, o solo parzialmente reinvestito, purché si rispettino le
proporzioni di investimento per le varie merci, come date dalla soluzione del
sistema matematico. Un sistema che tende a reinvestire tutto il sovrappiù nella produzione per aumentare così il PIL ad
ogni ciclo produttivo è evidentemente il più efficiente dal punto di vista della produzione quantitativa. Se le
risorse naturali disponibili sono limitate è anche il più efficiente nel
depauperare tali risorse. Il sistema economico di tipo capitalistico è una
possibile realizzazione pratica (ma non la sola) di questo modo di produrre.
Il modello fin qui esposto è sufficientemente concreto per farci capire che in
un sistema a riproduzione semplice non sarebbe possibile la società capitalistica,
non potrebbero esistere individui o gruppi sociali che non fossero
immediatamente produttivi, e quindi non potrebbero esistere né gli scienziati,
né gli artisti e nemmeno i capitalisti. I contabili delle antiche società sono
nati solo dopo che le tecniche produttive, con l’invenzione dell’aratro e
della ruota, hanno fatto sì che si potesse produrre sufficiente cibo per dar da
mangiare ai contabili, che hanno gettato le basi della matematica e, quindi, di
tutte le altre scienze.
Notiamo che, anche se non esplicitamente esposto il
modello che sopra abbiamo considerato ci permetterebbe di studiare, oltre ai
meccanismi della produzione anche quelli della distribuzione dei prodotti tra le varie industrie. Comunque, in
questa nota non prendiamo in esame l’ulteriore problema della distribuzione
del sovrappiù tra i vari settori della società. Vediamo quali conseguenze
possiamo dedurre dalle considerazioni sin qui esposte.
La matematica ci dice che il
nostro problema economico agli autovalori ha soluzione sotto condizioni poco
restrittive che qui accenneremo senza entrare molto nei dettagli. In breve,
l’esistenza della soluzione del problema economico risiede nel fatto banale
che la merce lavoro, come verrà
introdotta in seguito, necessariamente entra come input nella produzione di
tutte le altre merci29.
Ovviamente, ciò non significa che qualunque merce, che non sia lavoro o
energia, debba entrare nella produzione di tutte le altre merci; p. es., i
giocattoli, a differenza delle viti, non entrano nella produzione di altre
merci. Seguendo Sraffa chiameremo quelle merci che entrano come input di altre
merci con il termine di merci base e
le altre merci non di base. Marx
chiamava le merci non base, con il termine di merci di lusso.
Avendo introdotto tale
distinzione per le merci, di conseguenza ci saranno le industrie di base e le industrie
non di base. Dopo queste necessarie distinzioni e soprattutto dopo aver
notato il carattere fondamentale della merce
lavoro, possiamo affermare che il sistema economico rappresentato dalle
(4.1) o (4.2), avendo imposto le condizioni economiche realistiche a cui deve
obbedire la matrice di produzione ammette sempre soluzioni compatibili con
un’economia a riproduzione allargata. Anche se non immediatamente necessario
allo spirito del presente lavoro, avendo introdotto il lavoro come merce speciale ritengo utile accennare alla forma delle
equazioni economiche rendendo in esse esplicito il ruolo del lavoro.
Per fare ciò immaginiamo ancora
con Sraffa di costruire un paniere di
merci tale che il lavoro prodotto dai
lavoratori risulti una combinazione lineare di tali merci. Pertanto la matrice
di produzione complessiva sarà data come somma di due matrici distinte, secondo
l’uguaglianza: P = A + L . Gli elementi di A, gli aij, conterranno solo
coefficienti tecnologici in cui é stato sottratto il contributo diretto
proveniente dalle prestazioni lavorative. Gli elementi della matrice di
produzione L, gli lij, rappresenteranno i coefficienti
tecnologici che contengono la merce lavoro.
Il valore della merce lavoro lo
si chiami saggio del salario e lo si
indichi con w. Sotto queste ipotesi si potrà scrivere
sempre
L |xñ = w |Lñ avendo
indicato con |Lñ il vettore colonna cui elementi sono rispettivamente le
quantità di lavoro richieste
nell’industria i per produrre
un’unità di merce j. Possiamo
riscrivere l’equazione dei valori nella forma:
(1 + ρ) ( A |xñ + w |Lñ ) = |xñ (4.6)
La grandezza ρ é il saggio del profitto delle sole imprese, in quanto
dal prodotto finale si é tolta la parte distribuita come salario ai lavoratori.
Si viene ad avere un grado di libertà in più del sistema, per cui il saggio del
salario é un parametro libero che si può assegnare ad arbitrio con l’unico
vincolo dato dalle condizioni di sussistenza dei lavoratori e della loro prole.
Nel caso di salario di semplice sussistenza il lavoratore verrebbe considerato
alla stessa stregua dei cavalli da soma. E di fatto così è stato considerato
nella grande America al tempo della schiavitù dei negri. Al di fuori di questo
caso il lavoratore partecipa del sovrappiù riducendo i profitti delle imprese.
Essendo, entro certi limiti, un parametro libero, il valore del lavoro, in una
società capitalistica, può solo essere deciso da una contrattazione tra imprese
e lavoratori e dai rispettivi rapporti di forza. Se il lavoro non potesse
essere considerato un parametro libero del modello non avrebbe alcun senso la
lotta sindacale.
Ovviamente
assieme alla (4.7) si scrive la duale:
(1 + ρ) ( áq| A + w áL| ) = áq| (4.7)
e quindi anche la forma scalare, ottenuta dalla (4.7) moltiplicando a destra per il vettore duale |xñ della
forma:
(1 + ρ) ( áq| A |xñ + w áL| |xñ ) = áq| |xñ (4.8)
Notiamo che la (4.8) rappresenta l’equazione fondamentale
che aveva già scritto Marx, assumendo il lavoro
astratto sociale medio come merce campione per i valori di scambio30.
6. Riproduzione congiunta di Sraffa ed equazioni
del Von Neumann.
Per arrivare ad un modello
concreto di sistema economico dovremo tenere conto nel nostro sistema
matematico del lavoro non produttivo e
delle imprese non produttive, come le
imprese commerciali e di trasporto, ecc., che comunque partecipano alla
divisione del sovrappiù. Il modo di introdurre tale quantità ce lo suggerisce
ancora Sraffa con ciò che egli chiama il metodo
della produzione congiunta.
Sraffa nota che l’ipotesi che ogni singola industria
produca una sola merce è troppo restrittiva e si può ipotizzare che ogni
industria possa produrre più merci.
In modo
del tutto generale, sostituiamo l’equazione (4.2) con l’equazione:
(1+ρ) P |xñ = B |xñ (5.1)
B è
un’opportuna matrice di coefficienti che esprimono i rapporti con cui le
diverse merci sono prodotte dalle varie industrie. Il secondo membro della
(5.1) rappresenta in pratica una combinazione lineare di valori di scambio. Di
conseguenza avremo pure:
(1+ ρ) (A
|xñ + w |Lñ ) = B |xñ (5.2)
Il ket |yñ = B |xñ , che rappresenta il vettore dei valori compositi, avrà per
componenti i valori che competono alla combinazione lineare (che assumiamo
linearmente indipendente) di tutti i valori associati a tutte le merci secondo l’espressione31 yi = Σj=1,n bij xij
Dal punto di vista della
matematica, la nuova impostazione non cambia i termini del problema. Infatti,
dal momento che abbiamo supposto che merci composite siano linearmente
indipendenti esiste sempre la matrice
inversa, B-1, con la
quale si può operare in due modi sostanzialmente equivalenti. Si può
moltiplicare a sinistra il vettore |yñ per la matrice B-1 ottenendo
B-1 |yñ = B-1 B |xñ = |xñ e sostituendo nella (5.2) si ottiene:
(1+ ρ) (A
B-1 |yñ + w |Lñ ) = |yñ
indicando conA’ = A B-1 una nuova matrice si ottiene l’equazione
(1+ ρ)
(A’ |yñ + w |Lñ ) = |yñ
che formalmente analoga
all’equazione (4.6) solo che ora operiamo con una matrice di produzione
trasformata.
Equivalentemente,
possiamo moltiplicare a sinistra tutta 1’equazione (5.2) per B-1, ottenendo:
(1+ ρ) (B-1 A |xñ + w B-1 |Lñ ) = |xñ
che è
formalmente la stessa della (5.2), ove si ponga A’’= B-1 A
e |L’ñ = B-1 |Lñ. Essa ci appare come se ci
fossero n industrie composite che
producono le n merci semplici.
Vediamo dunque che la riproduzione congiunta si riconduce
alla riproduzione con sovrappiù di n industrie
che producono n merci.
Ora il nostro
schema teorico é sufficientemente concreto e potremo tentare l’approccio
dinamico della teoria allo scopo di predire il comportamento a lungo termine
del sistema economico in funzione del tempo. E’ ovvio che un tale tentativo si
potrà fare solo nei limiti di una ecodinamica
di equilibrio. E cioè supporremo sempre che il processo di trasformazione
economica sia talmente lento da procedere per una trasformazione di equilibrio del mercato. Per cui, sembra
cruciale dover giustificare, all’interno dello schema teorico sopra delineato
tale assunzione. In realtà la giustificazione teorica di ciò risiede nella
soluzione generale del Von Neumann32.
Si parte da un modello più generale (e che quindi comprende il caso da noi discusso
come caso particolare) di quello espresso dalla equazione (5.2). Il modello teorico viene posto sotto la forma espressa dalle
disuguaglianze duali:
β A |xñ £ B |xñ
(5.3)
α áq| A ³ áq| B
dove
α é detto coefficiente di espansione
dell’intera economia e β = l + ρ è detto fattore di interesse,
le matrici A e B ed i vettori |xñ e áq|
hanno il significato precedentemente discusso. Nella (5.3) viene rimossa
l’ipotesi che il numero delle industrie (chiamati processi dal Von Neumann) sia uguale al numero delle merci. Il Von
Neumann risolve, il problema indicato nelle (5.3), assumendo come
incognite le qi , xi, α, β e poi, servendosi del teorema del punto
fisso di Brouwer riesce a provare che:
i)
l’equilibrio economico deve essere sempre verificato in
una economia realistica come espressa dalla (5.3);
ii) Se le xi,
yi , sono determinate (ovvero date come fin qui supposto) allora
α, β sono univocamente
determinate. In particolare si mostra che α = β come avevamo posto
nello sviluppo formale precedentemente introdotto.
Con la dimostrazione dell’equilibrio generale del Von
Neumann si chiude a mio avviso ogni polemica ed ogni critica sul metodo scelto
dal Marx. Ma il mondo, probabilmente, ha già perso l’opportunità di comprendere
per sempre l’enorme importanza della teoria economica marxiana per
accontentarsi di surrogati teorici marginali
confusi che sembrano nati con l’unico scopo di giustificare lo sfruttamento
indiscriminato delle ri sorse naturali che condurrà prima o poi alla morte del
pianeta.
7. Dinamica dell’Economica Fisica:
L’approccio teorico di Salvatore Notarrigo
Nello scrivere le equazioni che
reggono la dinamica del modello economico sopra introdotto ci limitiamo a
considerare come punto di partenza l’equazione fondamentale:
(1+ρ)
áQ| P = áQ|
Il
vettore áQ|
indica le quantità alla fine del ciclo e il vettore áq| = áQ|
P indica le quantità investite
all’inizio del ciclo. Si può scrivere:
áQ| - áq| =
ρ áQ| P
I due membri di quest’ultima
equazione rappresentano il sovrappiù prodotto da tutte le imprese in un ciclo
produttivo nel periodo riproduttivo u. Allora,
con ovvio significato dei simboli, il sovrappiù mediamente prodotto nell’unità
di tempo sarà dato da:
o anche, indicando con r il sovrappiù prodotto nell’unità di tempo:
L’equazione (6.1) si può
considerare rappresentativa di un processo continuo. Pertanto scriveremo:
La
soluzione della (6.2) ci dà l’evoluzione temporale del nostro sistema
economico, ormai sufficientemente concretizzato. Questa equazione rappresenta
una situazione fisica in cui si suppone che tutto il prodotto venga
reinvestito. Ma, come l’esperienza insegna, questo significa che un piccolo
errore fatto nell’allocazione delle risorse ci farebbe allontanare sempre di
più dalla via che conduce alla realizzazione del massimo sovrappiù fino al
collasso del sistema economico. Per evitare questo inconveniente, e come sufficientemente
discusso in precedenza, è necessario non investire tutto il prodotto, ma
creare delle scorte. Con l’introduzione delle scorte l’equazione diventa:
o
riferendoci all’equazione duale dei valori:
essendo
K una matrice che rappresenta le frazioni di ogni singola merce prodotta in
ogni singola industria che viene riservata come scorta. Dunque, ponendo , quantità che rappresenta il livello di sviluppo
dell’economia al tempo t, e derivando
rispetto al tempo, la (6.4) si può scrivere anche nella forma:
ove si
tenga ben presente che le matrici P e K, e quindi anche r,
possono variare con il tempo in dipendenza del livello di sviluppo
economico raggiunto. L’equazione (6.5) rappresenta un sistema matematico
simile a quello che si potrebbe scrivere per un sistema meccanico di
particelle. E’ giusto chiamare la (6.5) equazione economica di Notarrigo. Essa
permetterebbe di ottenere l’evoluzione di un dato sistema economico, noti r, P, K ed il vettore iniziale áy|0 .
La
soluzione dell’equazione (6.5), nel caso lineare, cioé quando i
coefficienti sono costanti, è:
rk sono gli autovalori
della matrice di produzione. Quindi la soluzione generale é somma di n componenti parziali funzioni
del tempo, ognuna delle quali corrisponde ad un autovalore rk che può essere in generale un numero
positivo, un numero negativo, o un numero complesso (in tal caso sarà
accompagnato dal coniugato corrispondente). E quindi, in perfetta analogia con
le soluzioni di un sistema di equazioni che rappresentino tanti oscillatori
accoppiati si avrà che, se gli rk
sono tutti positivi, allora le componenti della (6.6) cresceranno nel
tempo con legge esponenziale e, per tempi lunghi, prevarrà solo la componente
con l’autovalore massimo. Cioè si otterrà una crescita esponenziale dell’eco nomia. Se qualche rk fosse negativo, allora il
componente corrispondente nella (6.6) si smorzerebbe col tempo fino a sparire.
Se invece tra gli autovalori ci fossero coppie complesse coniugate, queste
darebbero origine a delle oscillazioni periodiche33 che tendono percentualmente ad attenuarsi fino a
scomparire quasi del tutto con l’espandersi dell’economia con il tasso massimo
di sviluppo.
Quindi,
assumendo che esista almeno un elemento ad autovalore positivo (altrimenti non
vi può essere nè economia nè storia dell’economia) il sistema economico per
tempi sufficientemente lunghi deve evolvere secondo l’equazione:
avendo
indicato con S(t) il livello dello sviluppo economico della società, cioè
l’integrale nel tempo della produzione annua.
Ovviamente,
solo se il coefficiente k è positivo
e costante con il tempo la soluzione di tale equazione darebbe una legge esponenziale di crescita della forma S =
S0 ekt essendo S0
l’ammontare del valore prodotto al tempo t = t0 . Se invece, per qualche motivo, k evolve con il tempo, la pura legge
esponenziale non potrà più essere mantenuta.
Cosa ci
dice a questo riguardo la fisica del problema, tenuto conto delle conoscenze
acquisite fino a questo momento?
La fisica ci dice che per produrre merci
bisogna trasformare energia e quindi consumare
negaentropia34 .
Questa negaentropia può solo essere
ripristinata dal ricambio organico naturale determinato dagli scambi negaentropici tra il sole e la terra.
Quindi se in un primo momento, la legge della crescita economica esponenziale è
il fatto dominante, in un secondo momento, e cioè quando i consumi sono tanto
grandi da far aumentare sensibilmente il calore da smaltire sulla superficie
della terra, si assisterà ad uno squilibrio termico tra la terra e sole.
Inoltre, in regime di crescita economica esponenziale (compatibile con un
investimento totale degli output prodotti) un’enorme quantità di elementi
inquinanti verrà immessa nel circolo biologico, il cui effetto è quello di
aumentare inesorabilmente il livello entropico dell’ecosistema terrestre. Se
il serbatoio da cui attingere la negaentropia fosse infinito allora la
legge esponenziale potrebbe essere mantenuta indefinitamente. Ma ciò è palesemente
assurdo come dimostrato ampiamente dall’esperienza. Assistiamo infatti ad un
progressivo ed inesorabile depauperamento delle risorse planetarie che si
evidenzia nella scomparsa delle foreste, nella fusione progressiva dei ghiacciai,
nell’inquinamento continuo di mari, fiumi e laghi. Questo meccanismo perverso
è quello che lega strettamente l’ambiente all’economia. I cicli naturali, che
funzionano con meccanismi complicatissimi e largamente sconosciuti, subiscono
profonde alterazioni in conseguenza dell’inquinamento, e, a lungo andare,
essi, alterati e compromessi tenderanno a frenare lo stesso sviluppo economico
che la legge della massima efficienza
produttiva voleva mantenere in vita.
Dal
punto di vista della matematica, dobbiamo notare che una sensibile diminuzione
del coefficiente k deve produrre un
rallentamento del PIL, ed in pratica, si deve assistere ad un
generale rallentamento dell’occupazione proprio in quei settori produttivi che
avevano garantito precedentemente la crescita esponenziale dell’economia.
Il noto
economista americano W. H. Fisher35 ha
fatto tempo fa un’analisi dell’andamento dei prezzi di mercato negli USA.
L’autore estrapola fino al 1975 i prezzi rilevati per diverse merci dal 1953 al 1960. Si conclude che i prezzi delle merci, che più
direttamente dipendono dall’ambiente come, in primo luogo, le merci che
derivano direttamente dall’agricoltura e dalla pesca (incluso il prezzo della
merce lavoro) crescono più rapidamente dei prezzi delle merci industriali
(come materiali sintetici, prodotti chimici, tessuti, materiali per
pavimentazione, ecc.). Ovviamente la crescita del prezzo relativo della merce
lavoro spinge le industrie a sostituire il lavoro umano, anche quello
intellettuale, con macchine, automi e calcolatori, aumentando il fenomeno
della disoccupazione. I dati empirici in nostro possesso ci suggeriscono che si
è ormai entrati nella zona non lineare con un rallentamento della legge
esponenziale di crescita.
Il
Notarrigo36, utilizzando il
modello dinamico sopra accennato fa un’analisi dei dati empirici disponibili
sui consumi energetici mondiali e conferma l’esistenza in atto di una crisi
economica di vaste proporzioni che coinvolge l’intero mondo produttivo. Tale
analisi, condotta più di 15 anni or sono sembra essere confermata oggi in modo
sorprendente dalle difficoltà economiche di molti stati considerati
tradizionalmente solidi come ad esempio il Giappone. Lo stesso crollo della
Unione Sovietica, a mio avviso, può essere ricondotto a tale situazione di
crisi generale.
Se
l’analisi sopra accennata è valida si può indicare la conclusione seguente.
La
competizione sul mercato, regolata dalla legge del massimo profitto di ogni
singola azienda, conduce, in media, effettivamente al percorso di massima
efficienza del sistema economico produttivo. Tale rapida espansione del
livello dei consumi si scontra inevitabilrnente con le leggi della
termodinamica, quando si consideri la sua interazione con l’ecosistema
terrestre. Ritroviamo la conclusione del Marx: il limite del capitale è il capitale stesso.
D’altro
canto, l’idea di attuare una programmazione economica su vasta scala (ad
esempio l’economia pianificata di sovietica memoria) si scontra, a sua volta,
con l’enorme complessità del sistema economico che coinvolge il mondo intero.
L’unica soluzione sembra la strada che suggerisce la gestione di piccoli
sistemi economici, economicamente quasi autosufficienti. Possiamo chiamare
questi ipotetici, ma possibili, piccoli sistemi economici con il termine di
Sistemi Celluari Economici (SCE). In passato ad esempio, le città stato della
civiltà dei Sumeri, o della Grecia antica e della Magna Grecia, o del
Rinascimento italiano ci hanno fornito degli esempi concreti anche se parziali
e limitati nel tempo di SCE. Sfortunatamente però delle proposte che si
possono avanzare in tal senso possono essere facilmente confuse con i vari e
più o meno camuffati nazionalismi che nulla hanno a che fare con la
termodinamica del problema a cui abbiamo voluto accennare. Possiamo però
affermare, al di là di ogni ragionevole dubbio, che la legge di evoluzione del
sistema economico attuale (massimo
profitto delle aziende), così poco influenzabile dalla volontà dei singoli,
prosegue la sua inesorabile marcia trascinando tutti i viventi verso l’abisso37.
Desidero
ringraziare il Dott.Giuseppe Garozzo per la paziente lettura del presente
lavoro e per i suoi preziosi suggerimenti.
NOTE
1) «Nel Campo dell’economia
politica la libera ricerca scientifica non incontra soltanto gli stessi nemici
che incontra in tutti gli altri campi. La natura peculiare del materiale che
tratta chiama a battaglia contro di essa le passioni più ardenti, più meschine
e più odiose del cuore umano, le Furie dell’interesse privato.» [Il Brano é
tratto dalla V edizione del testo in italiano “Il Capitale Libro Primo” edito da Editori Riuniti — ristampa 1989,
pag. 34]. Ed ancora . . .l’economia ha
rinunciato a tutto quello che costituisce la base del procedimento scientifico
per sostenersi su differenze che sono di rilievo solo in apparenza.»[ Ibidem, Il Capitale libro Terzo, pag.2 10] TORNA
2) Cfr. R. Passet, La double dimension energetique et
informationelle de l’act economique, in Une
approche multidisciplinaire de l’environnement, Economica, Paris, 1980, p. 57; e D.E. James e coll., Economic
approaches to environmental problems, Elsevier, Amsterdam, 1978. TORNA
3) «Il vero limite della produzione capitalistica é il capitale stesso, è questo: che il
capitale e la sua autovalorizzazione appaiono come punto di partenza e punto di
arrivo…che la produzione è solo produzione per il capitale, e non al contrario i mezzi di produzione sono dei
semplici mezzi per una continua estensione del processo vitale per la società dei produttori.»[Ibidem, il Capitale libro terzo, pag. 360] TORNA
4) «..... .la grande proprietà
fondiaria riduce la popolazione agricola ad un minimo continuamente decrescente
e le contrappone una popolazione industriale continuamente crescente e
concentrata nelle grandi città; essa genera così le condizioni che provocano
una incolmabile frattura nel nesso del ricambio organico sociale prescritto
dalle leggi naturali della vita, . . .»[Ibidem, Il Capitale libro terzo, pag.926,] TORNA
5) N. Georgescu -
Roegen, The entropy law and the
economicprocess, Harvard Univ. Press,
1971. TORNA
6) J. Von Neumann, Un modello di equilibrio economico generale,
L’industria, n. 1, 1952, pag. 1. La sua dissertazione sull’equilibrio
economico generale fu letta per la prima volta nel 1932 nel seminario
matematico dell’Università di Princeton.
TORNA
7) Con il termine di equilibrio generale intenderemo questa
situazione del mercato delle merci nella quale sia determinato esattamente il
valore di scambio di ognuna di esse, e questo senza eccezione alcuna, rispetto
ad una ben determinata unità di misura presa come campione. TORNA
8) Con il termine valore di scambio intenderemo sempre una
grandezza con il significato preciso
che essa ha nella fisica elementare. TORNA
9) P. Sraffa, Produzione di merci a mezzo di merci - Premesse a una critica della teoria
economica, Einaudi, quinta ristampa, 1981. L’opera originale in inglese è
del 1960. TORNA
10) S. Notarrigo, Una ridefinizione della teoria economica, in
Energia ed Ambiente, a cura di G.Amata e S.Notarrigo, C.U.E.C.M., 1987. TORNA
11) La determinazione del
valore di scambio di una merce è sempre relativa alla grandezza unitaria di riferimento.
Tale determinazione può risultare invariata anche in presenza di cambiamento
dei coefficienti produttivi. TORNA
12) «L’indagine riguarda
esclusivamente quelle proprietà di un sistema economico che sono indipendenti
da variazioni nel volume della produzione …Questo punto di vista, che è quello
degli economisti classici da Adamo Smith a Ricardo, è stato sommerso e
dimenticato in seguito all’avvento della teoria marginale.» [Ibidem, Piero
Sraffa op. cit. Prefazione] TORNA
13) «La ricchezza delle società
nelle quali predomina il modo di produzione capitalistico si presenta come una
immane raccolta di merci e la merce singola si presenta come forma elementare. Perciò la nostra
indagine comincia con l’analisi della merce » [Karl Marx, op. cit. nota 1.
pag.34] TORNA
14) Si noti che il concetto di merce nulla ha che fare, in quanto
concetto scientifico, con il bene di
cui parlano i marginalisti. L’unica proprietà che caratterizza la merce è
quella che essa deve essere prodotta da un certo sistema produttivo per essere venduta e comprata nel mercato. Infatti oggi assistiamo alla
compravendita di merci che per nessuna ragione possono chiamarsi beni, come le scorie nucleari, rifiuti
di ogni genere, la droga, ecc., e d’altra parte vi sono beni, che finora nessuno ha mai pensato di vendere o comprare, se
non in particolari circostanze, come l’aria che respiriamo o l’acqua, che
usualmente vengono detti beni
liberi. TORNA
15) Il grano da scambiare sul mercato può assumere diverse forme come
ad esempio sementi, pane, ecc.. Il ferro che può essere scambiato sul mercato può assumere diverse forme:
forbici, zappe, ecc.. In un modello più complicato considereremo le industrie
di trasformazione del ferro e quelle del grano, ma per il momento conviene
partire da due sole industrie. TORNA
16) Inoltre consideriamo le
produzioni totali in un periodo di tempo dato che fissiamo in un anno. A rigore
la scelta del periodo di riferimento sul quale computare la produzione, nel
modello matematico, è una scelta arbitraria. Tuttavia, conviene considerare
periodi che siano rappresentativi di un intero ciclo produttivo il quale tenga
conto dei ritmi biologici riproduttivi di alcune merci. TORNA
17) Utilizzare il termine econometrico in analogia al termine stechiometrico noto nella chimica per
descrivere il bilancio tra due membri di una reazione chimica come, ad esempio
: 2Fe + 3Cl2 ® 2FeCl3 . In questa equazione chimica il simbolo + non ha
l’usuale significato noto dall’aritmetica. Così il simbolo + usato per
indicare l’equazione semplice economica che descrive la trasformazione di due o
più merci in una terza non ha il senso noto in aritmetica. TORNA
18) Nell’esempio numerico di
Sraffa si ha: q1 = 400 e q2 = 20 TORNA
19) Ibidem, Piero Sraffa, op.
pag. 4 TORNA
20) E’ patrimonio
dell’esperienza più comune il fatto che non tutte le annate produttive si
presentano con lo stesso rendimento. Accade che la quantità di grano prodotta
dipende dalle condizioni climatiche che si ripresentano di anno in anno. Sia q(t)
una quantità funzione del tempo. Supponiamo di registrare tale quantità per un
periodo molto lungo di tempo T rispetto
al periodo di tempo u (un anno) preso
a riferimento. Allora le quantità q che compaiono nelle espressioni matematiche
precedentemente introdotte rappresentano il valore medio della grandezza q(t)
effettuato nel periodo di tempo T e
rapportato al periodo unitario u. TORNA
21) Da millenni l’uomo si è
reso conto della necessità di provvedere ad un sistema di scorte adeguato.
Vedi, ad esempio il racconto biblico del mitico Giuseppe in Egitto. Nel passato
molto remoto si sono registrate molteplici situazioni di regresso del sistema
economico, e dunque di regresso della popolazione umana. Vedi ad esempio il libro
di G.B.Zorzoli, Il Pianeta in bilico, Ed.
Garzanti 1988. TORNA
22) Ibidem, S.Notarrigo, op.
cit. TORNA
23) La notazione in vettori bra e vettori ket è della meccanica quantistica dove è stata introdotta dal
fisico Paul A.M. Dirac nel 1957; vedi P.A.M. Dirac, I Principi della Meccanica Quantistica, 2’ Ed. Boringhieri 1976,
pagg.25-30 TORNA
24) Nello stesso identico modo
come si procede nella teoria delle grandezze fisiche. TORNA
25) Bisogna fare attenzione che
nel PIL entrano i valori di scambio e
non i prezzi di mercato. TORNA
26) Ibidem, P.Sraffa, op.
cit. TORNA
27) Il determinante del sistema
lineare (4.5) uguagliato a zero
produce un’equazione algebrica di grado due. Pertanto oltre al valore di z indicato nel testo, si avrebbe anche
la seconda soluzione z = 0.089089 che
produce una soluzione economicamente non accettabile perché le quantità prodotte
sarebbero negative. TORNA
28) Ibidem, P.Sfraffa, op. cit.
pag. 9 TORNA
29) Tenuto conto del fatto che
se si potesse sostituire il lavoro umano con degli automi intelligenti, come a
poco a poco si va facendo, occorrerà sempre del lavoro umano per progettare e
fare funzionare gli automi. TORNA
c= áq| A |xñ , C’= áq| |xñ , ν
= w áL| |xñ , C = c + ν , p = C’ - C
si ottiene C’ = C + p = c +
ν + p = (1 + ρ) (c + ν) = (1 + ρ) C
con la terminologia di Marx, c è il capitale costante, in
quanto rimane invariato alla fine del processo di produzione, v è chiamato capitale variabile in quanto di ciclo in ciclo aggiunge valore al
capitale iniziale. C è il capitale
complessivo impiegato nella società e C’ è
il capitale complessivo prodotto alla fine di un ciclo. Naturalmente si ha
p = C’ — C =
ρ (c+v)
che è il sovrappiù (il famoso plusvalore di Marx ) prodotto in un ciclo. L’equazione di
Marx, che abbiamo mostrato essere perfettamente compatibile con lo schema
teorico di P. Sraffa ha suscitato innumerevoli polemiche. Per avere un’idea
sufficiente del dibattito attorno all’analisi marxiana, si veda il classico
lavoro : La Teoria dello Sviluppo
Economico Capitalistico, a cura di C. Napoleoni — Universale Scientifica Boringhieri, 1970. Una critica
particolarmente stringente dell’equazione di Marx, critica che a mio avviso è
sbagliata, si trova nel libro di I.Steedman, Marx after Sraffa , Thad. di
Antonia Campus in lingua Italiana, Ed. Riuniti 1980. TORNA
31) Tra le merci prodotte dalle
singole industrie ora possono esserci delle merci con un valore di scambio negativo,
come le scorie della produzione energetica e i rifiuti. TORNA
32) Tale prova è data nel
lavoro del Von Neumann già citato nel presente lavoro. L’autore non usa la
simbologia dei vettrori bra e dei
vettori ket. In questa nota ci siamo
uniformati all’impostazione seguita in tutto il testo. Ovviamente, ricordando
il significato di prodotto riga per colonna, introdotto per le matrici, la
comprensione delle (5.3) è immediata. TORNA
33) In generale queste
componenti oscillanti, hanno ampiezze che
stanno in rapporti irrazionali tra loro (salvo casi eccezionali). Il loro
effetto nell’equazione è simile al comportamento delle cosiddette crisi periodiche del sistema produttivo
che si sono registrate nel passato anche recente. TORNA
34) Il Von Neumann mostra che,
in analogia ad un sistema termodinamico, la trattazione dell’economia di
equilibrio richiede l’introduzione di una funzione di stato economica Φ la
cui funzione è simile a quella dei potenziali termodinamici. In base a tale
interpretazione, la variazione di negaentropia
economica può essere interpretata come la somma complessiva di tutti i
valori di scambio prodotti. TORNA
35) Vedi W.H. Fisher, The anatomy of
inflation 1953 - 1975, Scientific
Amarican, November1971. TORNA
36) S.Notarrigo, La teoria del valore di Marx e l’economia
moderna, in Quaderni della cooperativa
«LABORATORIO» , a cura di M.Blancato e G.Boscarino, -SIRACUSA- 1985. TORNA
37) I modelli economici esposti
in questa nota sono stati discussi in aula nel corso di Fisica dell’Ambiente dal compianto Prof. Salvatore Notarrigo
presso il Dipartimento di Fisica dell’Università di Catania. Ho avuto il raro
privilegio di essergli stato discente, collega e grande amico. TORNA